Мы имеем перед собой, таким образом, обычное аналитическое разложение в
ряд, понимаемое для целей дифференциального исчисления так, что переменной
величине дается приращение dx, i, а затем степень двучлена разлагается в
соответствующий ряд. Но так называемое приращение должно быть не
определенным количеством, а лишь формой, все значение которой сводится к
тому, чтобы быть вспомогательным средством разложения в ряд. Стремятся же в
этом случае - по признанию, определеннее всего выраженному Эйлером и
Лагранжем и подразумеваемому в ранее упомянутом представлении о пределе, -
лишь к получающимся при этом степенным определениям переменных величин, к
так называемым коэффициентам (эти коэффициенты суть, правда, коэффициенты
приращения и его степеней, которые определяют последовательность ряда и к
которым относятся различенные коэффициенты). При этом можно отметить, что
так как приращение, не имеющее определенного количества, принимается лишь
для целей разложения в ряд, то было бы всего уместнее обозначить его цифрой
1 (единицей), потому что приращение всегда встречается в разложении только
как множитель, а множитель "единица" как раз и достигает той цели, чтобы
приращение не приводило к какой-либо качественной определенности и к
какому-либо количественному изменению, dx же, обремененное ложным
представлением о некоторой количественной разности, и другие знаки, как,
например, i, обремененные бесполезной здесь видимостью всеобщности, всегда
выглядят как определенное количество и его степени и притязают на то, чтобы
быть таковыми; это притязание приводит к стремлению, несмотря на это,
избавиться от них, отбросить их. Для сохранения формы ряда, развернутого по
степеням, можно было бы с таким же успехом присоединять обозначения
показателей как indices к единице. Но и помимо этого необходимо
абстрагироваться от ряда и от определения коэффициентов по месту, которое
они занимают в ряде: отношение между всеми ими одно и то же; вторая функция
- производная от первой, точно так же как первая - от первоначальной, и для
той, которая по счету вторая, первая производная функция есть в свою очередь
первоначальная.
По существу же своему интерес составляет не ряд, а единственно лишь
получающееся в результате разложения в ряд степенные определение в своем
отношении к непосредственной для него величине. Стало быть, вместо того
чтобы считать это определение коэффициентом первого члена разложения, было
бы предпочтительнее (так как каждый член обозначается как первый
относительно следующих за ним членов ряда, а такая степень в качестве
степени приращения, как и сам ряд, не относится сюда) употреблять простое
выражение "производная степенная функция", или, как мы сказали выше,
"функция возведения величины в степень", причем предполагается, что
известно, каким образом производная берется как заключенная внутри некоторой
степени разложения.
Но если в этой части анализа собственно математическое начало есть не что
иное, как нахождение функции, определенной через разложение в степенной ряд,
то возникает еще один вопрос:
что делать с полученным таким образом отношением, каково применение его и
пользование им, или [вопрос]: действительно, для какой цели ищут такие
функции? Дифференциальное исчисление вызвало к себе большой интерес именно
тем, что оно находило такие отношения в конкретных предметах, сводимых к
этим абстрактным аналитическим отношениям.
Но относительно применимости из самой природы сути вещей в силу вскрытого
выше характера моментов степени само собой вытекает прежде всего следующее,
еще до того, как будет сделан вывод из случаев применения. Разложение в ряд
степенных величин, посредством которого получаются функции их возведения в
степень, если абстрагироваться от более точного определения, отличается
прежде всего вообще тем, что величина понижается на одну степень. Такое
действие, следовательно, находит применение в таких предметах, в которых
также имеется такое различие степенных определений. Если будем иметь в виду
пространственную определенность, то найдем, что она содержит те три
измерения, которые мы, чтобы отличить их от абстрактных различий высоты,
длины и ширины, можем обозначить как конкретные измерения, а именно линию,
поверхность и тотальное пространство; а поскольку они берутся в их
простейших формах и в соотношении с самоопределением и, стало быть, с
аналитическими измерениями, то мы получаем прямую линию, плоскостную
поверхность (и ее же как квадрат) и куб. Прямая линия имеет эмпирическое
определенное количество, но с плоскостью появляется то, чтб обладает
качеством, степеннбе определение; более детальные видоизменения, например
то, что это происходит уже и с плоскими кривыми, мы можем оставить без
рассмотрения, поскольку здесь дело идет прежде всего о различии лишь в общем
виде. Тем самым возникает также потребность переходить от более высокого
степенного определения к низшему
Видимость случайности, представляемая дифференциальным исчислением в
разном его применении, упростилась бы уже пониманием природы сфер применения
и специфической потребности и условия этого применения. Но в самих этих
сферах важно далее знать, между какими частями предметов математической
задачи имеет место такое отношение, которое специфически полагается
дифференциальным исчислением. Пока что мы сразу должны заметить, что при
этом нужно принимать во внимание двоякого рода отношения. Действие понижения
степени уравнения, рассматриваемое со стороны производных функций его
переменных величин, дает результат, который в самом себе поистине есть уже
не уравнение, а отношение. Это отношение составляет предмет собственно
дифференциального исчисления. Но именно поэтому, во-вторых, здесь имеется
также отношение самогб более высокого степеннбго определения
(первоначального уравнения) к низшему (производной функции). Это второе
отношение мы должны оставить пока без внимания; впоследствии оно окажется
предметом, характерным для интегрального исчисления.
Рассмотрим сначала первое отношение и для определения момента, в котором
заключается интерес действия (это определение должно быть заимствовано из
сферы так называемого применения), возьмем простейший пример кривых,
определяемых уравнением второй степени. Как известно, отношение координат в
степеннбм определении дано непосредственно уравнением.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304