е. очень малы, - я припоминаю, что Барроу приводит подобное возражение
Такэ остроумного геометра того времени, также пользовавшегося новыми
методами. Имеющееся у последнего сомнение касается также вопроса о том,
какую линию - а именно при вычислении конических и сферических поверхностей
- следует принимать за основной момент определения для рассуждения,
основанного на применении дискретного. Такэ возражает против метода
неделимых, утверждая, что при вычислении поверхности прямоугольного конуса
по этому атомистическому методу треугольник, [получаемый при продольном
рассечении] конуса, изображается составленным из прямых, параллельных
основанию линий, перпендикулярных к оси и представляющих собой в то же время
радиусы тех кругов, из которых состоит поверхность конуса. Если же эта
поверхность определяется как сумма окружностей, а эта сумма определяется из
численности их радиусов, т. е. из длины оси конуса, из его высоты, то
получаемый результат противоречит сформулированной и доказанной еще
Архимедом истине. В ответ на это возражение Барроу показывает, что для
определения поверхности конуса не его ось, а сторона треугольника,
[получаемого при продольном рассечении] конуса, должна быть принята за ту
линию, вращение которой образует эту поверхность и которая, а не ось, должна
поэтому считаться определенностью величины для множества окружностей.
Подобного рода возражения или сомнения имеют своим источником единственно
лишь обыденное неопределенное представление, согласно которому линия состоит
из бесконечного множества точек, плоскость - из бесконечного множества
линий, и т. д.; этим представлением затушевывается сущностная определенность
величины линий или плоскостей. - Целью настоящих примечаний было раскрыть те
утвердительные определения, которые при различном применении бесконечно
малых в математике остаются, так сказать, на заднем плане, и освободить их
от того тумана, в который их закутывает эта считающаяся чисто отрицательной
категория. В бесконечном ряде, как, например, в Архимедовом измерении круга,
"бесконечность" означает только то, что закон дальнейшего определения
известен, но так называемое конечное, т. е. арифметическое выражение, не
дано, сведение дуги к прямой линии не осуществимо; эта несоизмеримость есть
их качественное различие. Качественное различие дискретного и непрерывного
вообще содержит также и отрицательное определение, ввиду которого они
выступают как несоизмеримые и которое влечет за собой бесконечное в том
смысле, что непрерывное, долженствующее быть принятым за дискретное, по
своей непрерывной определенности не должно уже иметь определенное
количество. Непрерывное, которое арифметически должно быть принято за
произведение, тем самым полагается в самом себе дискретным, а именно
разлагается на те элементы, которые составляют его множители; в этих
множителях заключается определенность его величины; и именно потому, что они
суть эти множители или элементы, они имеют низшее измерение, а поскольку
появляется степенная определенность, имеют более низкую степень, чем та
величина, элементами и множителями которой они служат. Арифметически это
различие обнаруживается как чисто количественное различие, как различие
корня и степени или какой-нибудь другой степенной определенности. Но если
это выражение имеет в виду лишь количественное, как таковое, например, а :
а2 или а-а2 = 2а : а2 = 2 : а, или для закона падения тел t: at1, то оно
дает лишь ничего не говорящие отношения 1 : а, 2 : а, 1: at; в
противоположность своему чисто количественному определению члены отношения
должны были быть удержаны врозь своим различным качественным значением, как,
например, s : аt2, где величина выражена как некоторое качество, как функция
величины некоторого другого качества. При этом сознание имеет перед собой
лишь количественную определенность, над которой легко производятся
подобающие действия, и можно спокойно умножать величину одной линии на
величину другой; но в результате умножения этих самых величин получается
также качественное изменение - переход линии в плоскость, поскольку
появляется некоторое отрицательное определение; оно и вызывает ту трудность,
которую можно устранить, если уразуметь особенность этого определения и
простую суть дела; но введением бесконечного, от которого ожидается ее
устранение, эта трудность скорее только запутывается еще больше и
оставляется совершенно непреодоленной.
Глава третья
КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ОТНОШЕНИЕ (DAS QUANTITATIVE VERHALTNIS)
Бесконечность определенного количества была определена выше так, что она
есть его отрицательное потустороннее, которое, однако, оно имеет в самом
себе. Это потустороннее есть качественное вообще. Бесконечное определенное
количество как единство обоих моментов - количественной и качественной
определенностей - есть прежде всего отношение.
В отношении определенное количество уже не обладает лишь безразличной
определенностью, а качественно определено как всецело соотнесенное со своим
потусторонним. Оно продолжает себя, переходя в свое потустороннее; последнее
есть прежде всего некоторое другое определенное количество вообще. Но по
своему существу они не соотнесены друг с другом как внешние определенные
количества, а каждое имеет свою определенность в этом соотношении с иным.
Они, таким образом, в этом своем инобытии возвращены в себя; то, что каждое
из них есть, оно есть в ином; иное составляет определенность каждого из них.
- Смысл выхождения определенного количества за свои пределы состоит теперь,
стало быть, не в том, что оно изменяется лишь в некоторое иное
или в свое абстрактное иное, в свое отрицательное потустороннее, а в том,
что в этом ином оно достигает своей определенности; оно находит само себя в
своем потустороннем, которое есть некое другое определенное количество.
Качество определенного количества, определенность его понятия - это его
внешность вообще, в отношении же оно положено так, что оно имеет свою
определенность в своей внешности, в некоем другом определенном количестве,
есть в своем потустороннем то, что оно есть.
Именно определенные количества обладают тем соотношением между собой,
которое здесь получилось. Само это соотношение также есть некоторая
величина. Определенное количество не только находится в отношении, но оно
само положено как отношение;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
Такэ остроумного геометра того времени, также пользовавшегося новыми
методами. Имеющееся у последнего сомнение касается также вопроса о том,
какую линию - а именно при вычислении конических и сферических поверхностей
- следует принимать за основной момент определения для рассуждения,
основанного на применении дискретного. Такэ возражает против метода
неделимых, утверждая, что при вычислении поверхности прямоугольного конуса
по этому атомистическому методу треугольник, [получаемый при продольном
рассечении] конуса, изображается составленным из прямых, параллельных
основанию линий, перпендикулярных к оси и представляющих собой в то же время
радиусы тех кругов, из которых состоит поверхность конуса. Если же эта
поверхность определяется как сумма окружностей, а эта сумма определяется из
численности их радиусов, т. е. из длины оси конуса, из его высоты, то
получаемый результат противоречит сформулированной и доказанной еще
Архимедом истине. В ответ на это возражение Барроу показывает, что для
определения поверхности конуса не его ось, а сторона треугольника,
[получаемого при продольном рассечении] конуса, должна быть принята за ту
линию, вращение которой образует эту поверхность и которая, а не ось, должна
поэтому считаться определенностью величины для множества окружностей.
Подобного рода возражения или сомнения имеют своим источником единственно
лишь обыденное неопределенное представление, согласно которому линия состоит
из бесконечного множества точек, плоскость - из бесконечного множества
линий, и т. д.; этим представлением затушевывается сущностная определенность
величины линий или плоскостей. - Целью настоящих примечаний было раскрыть те
утвердительные определения, которые при различном применении бесконечно
малых в математике остаются, так сказать, на заднем плане, и освободить их
от того тумана, в который их закутывает эта считающаяся чисто отрицательной
категория. В бесконечном ряде, как, например, в Архимедовом измерении круга,
"бесконечность" означает только то, что закон дальнейшего определения
известен, но так называемое конечное, т. е. арифметическое выражение, не
дано, сведение дуги к прямой линии не осуществимо; эта несоизмеримость есть
их качественное различие. Качественное различие дискретного и непрерывного
вообще содержит также и отрицательное определение, ввиду которого они
выступают как несоизмеримые и которое влечет за собой бесконечное в том
смысле, что непрерывное, долженствующее быть принятым за дискретное, по
своей непрерывной определенности не должно уже иметь определенное
количество. Непрерывное, которое арифметически должно быть принято за
произведение, тем самым полагается в самом себе дискретным, а именно
разлагается на те элементы, которые составляют его множители; в этих
множителях заключается определенность его величины; и именно потому, что они
суть эти множители или элементы, они имеют низшее измерение, а поскольку
появляется степенная определенность, имеют более низкую степень, чем та
величина, элементами и множителями которой они служат. Арифметически это
различие обнаруживается как чисто количественное различие, как различие
корня и степени или какой-нибудь другой степенной определенности. Но если
это выражение имеет в виду лишь количественное, как таковое, например, а :
а2 или а-а2 = 2а : а2 = 2 : а, или для закона падения тел t: at1, то оно
дает лишь ничего не говорящие отношения 1 : а, 2 : а, 1: at; в
противоположность своему чисто количественному определению члены отношения
должны были быть удержаны врозь своим различным качественным значением, как,
например, s : аt2, где величина выражена как некоторое качество, как функция
величины некоторого другого качества. При этом сознание имеет перед собой
лишь количественную определенность, над которой легко производятся
подобающие действия, и можно спокойно умножать величину одной линии на
величину другой; но в результате умножения этих самых величин получается
также качественное изменение - переход линии в плоскость, поскольку
появляется некоторое отрицательное определение; оно и вызывает ту трудность,
которую можно устранить, если уразуметь особенность этого определения и
простую суть дела; но введением бесконечного, от которого ожидается ее
устранение, эта трудность скорее только запутывается еще больше и
оставляется совершенно непреодоленной.
Глава третья
КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ОТНОШЕНИЕ (DAS QUANTITATIVE VERHALTNIS)
Бесконечность определенного количества была определена выше так, что она
есть его отрицательное потустороннее, которое, однако, оно имеет в самом
себе. Это потустороннее есть качественное вообще. Бесконечное определенное
количество как единство обоих моментов - количественной и качественной
определенностей - есть прежде всего отношение.
В отношении определенное количество уже не обладает лишь безразличной
определенностью, а качественно определено как всецело соотнесенное со своим
потусторонним. Оно продолжает себя, переходя в свое потустороннее; последнее
есть прежде всего некоторое другое определенное количество вообще. Но по
своему существу они не соотнесены друг с другом как внешние определенные
количества, а каждое имеет свою определенность в этом соотношении с иным.
Они, таким образом, в этом своем инобытии возвращены в себя; то, что каждое
из них есть, оно есть в ином; иное составляет определенность каждого из них.
- Смысл выхождения определенного количества за свои пределы состоит теперь,
стало быть, не в том, что оно изменяется лишь в некоторое иное
или в свое абстрактное иное, в свое отрицательное потустороннее, а в том,
что в этом ином оно достигает своей определенности; оно находит само себя в
своем потустороннем, которое есть некое другое определенное количество.
Качество определенного количества, определенность его понятия - это его
внешность вообще, в отношении же оно положено так, что оно имеет свою
определенность в своей внешности, в некоем другом определенном количестве,
есть в своем потустороннем то, что оно есть.
Именно определенные количества обладают тем соотношением между собой,
которое здесь получилось. Само это соотношение также есть некоторая
величина. Определенное количество не только находится в отношении, но оно
само положено как отношение;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304